Bộ Lọc

Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth

Bộ lọc Butterworth là một loại bộ lọc tích cực, trong đó đáp ứng tần số trên dải thông là tương đối phẳng. Vì đáp ứng tần số này, bộ lọc Butterworth còn được gọi là bộ lọc phẳng cực đại (Maximally Flat Filters) hoặc bộ lọc phẳng-phẳng (Flat-Flat Filters).

Sử dụng kỹ thuật bộ lọc Butterworth, bạn có thể thiết kế tất cả các loại bộ lọc như thông cao, thông thấp, thông dải, v.v. Trong bài hướng dẫn này, chúng ta sẽ tập trung vào thiết kế bộ lọc thông thấp sử dụng kỹ thuật bộ lọc Butterworth.

Để biết thêm thông tin về các bộ lọc thông thấp điển hình, dù là tích cực hay thụ động, hãy đọc các bài hướng dẫn sau: “Bộ lọc thông thấp RC thụ động” và “Bộ lọc thông thấp tích cực“.

Có ba cân nhắc chính trong thiết kế mạch lọc là:

  • Đáp ứng của dải thông phải đạt độ phẳng tối đa.
  • Phải có sự chuyển tiếp chậm từ dải thông sang dải chặn.
  • Khả năng của bộ lọc trong việc cho tín hiệu đi qua mà không bị méo trong dải thông.

Các méo này thường do độ lệch pha của sóng. Ngoài ba yếu tố này, các tham số thời gian tăng và giảm cũng đóng vai trò quan trọng. Bằng cách xem xét từng yếu tố, một loại bộ lọc được thiết kế.

Để có đáp ứng phẳng tối đa, bộ lọc Butterworth được thiết kế. Đối với quá trình chuyển tiếp chậm từ dải thông sang dải chặn, bộ lọc Chebyshev được thiết kế và để có độ trễ pha phẳng tối đa, bộ lọc Bessel được thiết kế.

Bộ lọc Butterworth

Đổi lại độ dốc chuyển tiếp trung bình từ dải thông sang dải chặn, bộ lọc Butterworth sẽ cung cấp đáp ứng phẳng trong tín hiệu đầu ra. Vì vậy, nó còn được gọi là bộ lọc biên độ phẳng cực đại.

Tốc độ giảm đáp ứng của bộ lọc được xác định bởi số cực trong mạch. Số cực sẽ phụ thuộc vào số phần tử phản kháng trong mạch, tức là số cuộn cảm hoặc tụ điện được sử dụng trong mạch.

Đáp ứng biên độ của bộ lọc Butterworth bậc n được cho như sau:

Vout / Vin = 1 / √{1 + (f / fc)2n}

Trong đó ‘n’ là số cực trong mạch. Khi giá trị của ‘n’ tăng, độ phẳng của đáp ứng bộ lọc cũng tăng.

‘f’ = tần số hoạt động của mạch và ‘fc’ = tần số trung tâm hoặc tần số cắt của mạch.

Các bộ lọc này có các cân nhắc được xác định trước, ứng dụng chủ yếu ở các mạch RC tích cực ở tần số cao hơn. Mặc dù nó không cung cấp đáp ứng cắt sắc nét, nó thường được coi là bộ lọc toàn diện được sử dụng trong nhiều ứng dụng.

Xấp xỉ Butterworth

Như chúng ta biết, để đáp ứng các cân nhắc về đáp ứng bộ lọc và có các xấp xỉ gần với bộ lọc lý tưởng, chúng ta cần có các bộ lọc bậc cao hơn. Điều này sẽ làm tăng độ phức tạp.

Chúng ta biết đáp ứng tần số đầu ra và đáp ứng pha của các mạch thông thấp và thông cao. Các đặc tính bộ lọc lý tưởng là độ phẳng tối đa, độ lợi dải thông tối đa và độ suy giảm dải chặn tối đa.

Để thiết kế bộ lọc, cần có hàm truyền thích hợp. Để thỏa mãn các hàm truyền này, các dẫn xuất toán học được thực hiện trong thiết kế bộ lọc tương tự với nhiều hàm xấp xỉ.

Trong các thiết kế như vậy, bộ lọc Butterworth là một trong các loại bộ lọc. Các cân nhắc thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth chủ yếu được sử dụng cho nhiều chức năng. Sau này, chúng ta sẽ thảo luận về các đa thức bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa.

Bộ lọc thông thấp Butterworth bậc nhất

Mạch dưới đây thể hiện bộ lọc thông thấp Butterworth.

Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth

Độ lợi dải thông yêu cầu của bộ lọc Butterworth chủ yếu phụ thuộc vào giá trị điện trở của ‘R1’ và ‘Rf’ và tần số cắt của bộ lọc sẽ phụ thuộc vào các phần tử R và C trong mạch trên.

Độ lợi của bộ lọc được cho bởi A_max = 1 + R1/Rf

Trở kháng của tụ điện ‘C’ được cho bởi -jXC và điện áp trên tụ điện được cho bởi,

  • Vc = – jXC / (R – jXC) * Vin.

Trong đó XC = 1 / (2πfc), kháng dung.

Hàm truyền của bộ lọc ở dạng cực được cho bởi

H(jω) = |Vout/Vin| ∟ø

  • Trong đó độ lợi của bộ lọc Vout / Vin = Amax / √{1 + (f/fH)²}
  • Và góc pha Ø = – tan-1 ( f/fH )

Ở tần số thấp, nghĩa là khi tần số hoạt động thấp hơn tần số cắt, độ lợi dải thông bằng độ lợi tối đa.

Vout / Vin = Amax, tức là hằng số.

Ở tần số cao, nghĩa là khi tần số hoạt động cao hơn tần số cắt, thì độ lợi thấp hơn độ lợi tối đa.

  • Vout / Vin < Amax

Khi tần số hoạt động bằng tần số cắt, hàm truyền bằng Amax /√2 . Tốc độ giảm độ lợi là 20dB/thập kỷ hoặc 6dB/quãng tám và có thể được biểu diễn bằng độ dốc đáp ứng là -20dB/thập kỷ.

Bộ lọc thông thấp Butterworth bậc hai

Một mạng RC bổ sung được kết nối với bộ lọc Butterworth bậc nhất cho ta một bộ lọc thông thấp bậc hai. Bộ lọc thông thấp bậc hai này có ưu điểm là độ lợi giảm rất nhanh sau tần số cắt, trong dải chặn.

Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth

Trong bộ lọc bậc hai này, giá trị tần số cắt phụ thuộc vào các giá trị điện trở và tụ điện của hai phần RC. Tần số cắt được tính bằng công thức dưới đây.

  • fc = 1 / (2π√R2C2)

Độ lợi giảm với tốc độ 40dB/thập kỷ và đáp ứng này được thể hiện bằng độ dốc -40dB/thập kỷ. Hàm truyền của bộ lọc có thể được cho bởi

  • Vout / Vin = Amax / √{1 + (f/fc)4}

Dạng chuẩn của hàm truyền của bộ lọc bậc hai được cho bởi

  • Vout / Vin = Amax /s2 + 2εωns + ωn2

Trong đó ωn = tần số tự nhiên của dao động = 1/R2C2

  • ε = Hệ số cản = (3 – Amax ) / 2

Đối với bộ lọc Butterworth bậc hai, số hạng giữa cần thiết là sqrt(2) = 1,414, từ đa thức Butterworth chuẩn hóa là

  • 3 – Amax = √2 = 1.414

Để có đáp ứng bộ lọc đầu ra an toàn, cần thiết là độ lợi Amax bằng 1,586.

Các bộ lọc Butterworth bậc cao hơn thu được bằng cách ghép nối các bộ lọc Butterworth bậc nhất và bậc hai. Điều này có thể được thể hiện như sau:

Trong đó an và bn là các hệ số bộ lọc được xác định trước và được sử dụng để tạo ra các hàm truyền cần thiết.

Đáp ứng tần số lý tưởng của bộ lọc Butterworth

Độ phẳng của đáp ứng đầu ra tăng khi bậc của bộ lọc tăng. Độ lợi và đáp ứng chuẩn hóa của bộ lọc Butterworth cho các bậc khác nhau được cho dưới đây.

Đa thức bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa

Chuẩn hóa là quá trình trong đó điện áp, dòng điện hoặc trở kháng được chia cho đại lượng của cùng đơn vị đo. Quá trình này được sử dụng để tạo ra một phạm vi hoặc mức không thứ nguyên của một giá trị cụ thể.

Đa thức mẫu của hàm truyền bộ lọc cho chúng ta đa thức Butterworth. Nếu chúng ta xem mặt phẳng s trên một đường tròn có bán kính bằng nhau có tâm ở gốc tọa độ, thì tất cả các cực của bộ lọc Butterworth đều nằm ở nửa trái của mặt phẳng s đó.

Đối với bộ lọc bậc bất kỳ, hệ số của lũy thừa cao nhất của ‘s’ luôn phải bằng 1 và đối với bộ lọc bậc bất kỳ, số hạng hằng số luôn bằng 1. Đối với các bộ lọc bậc chẵn, tất cả các nhân tử đa thức đều có bản chất bậc hai. Đối với các bộ lọc bậc lẻ, tất cả các đa thức đều bậc hai trừ bậc nhất, đối với bộ lọc bậc nhất, đa thức là 1+s.

Đa thức Butterworth dưới dạng hệ số được cho trong bảng dưới đây.

Hàm truyền của bộ lọc Butterworth bậc n được cho như sau

  • H(jω) = 1/√{1 + ε² (ω/ωc)2n}

Trong đó n là bậc của bộ lọc

  • ω là tần số góc và bằng 2πf
  • Và ε là độ lợi dải thông tối đa, Amax

Ví dụ về bộ lọc thông thấp Butterworth

Chúng ta hãy xem xét bộ lọc thông thấp Butterworth với tần số cắt 15,9 kHz và với độ lợi dải thông 1,5 và tụ điện C = 0,001µF.

  • fc = 1/2πRC
  • 15.9 * 10³ = 1 / {2πR1 * 0.001 * 10-6}
  • R = 10kΩ
  • Amax = 1,5 và giả sử R1 là 10 kΩ
  • Amax = 1 + {Rf / R1}
  • Rf = 5 kΩ

Bộ lọc thông thấp Butterworth bậc ba

Kết nối ghép nối của các bộ lọc Butterworth bậc nhất và bậc hai cho ta bộ lọc Butterworth bậc ba. Mạch bộ lọc Butterworth bậc ba được thể hiện dưới đây.

Đối với bộ lọc thông thấp bậc ba, đa thức từ các đa thức bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa cho trước là (1+s) (1+s+s²). Bộ lọc này chứa ba hệ số chưa biết gồm a0 a1 a2.

Giá trị hệ số cho các hệ số này là a0 = 1, a1 = 2 và a2 = 2. Độ phẳng của đường cong tăng lên đối với bộ lọc Butterworth bậc ba này so với bộ lọc bậc nhất.

Ứng dụng

  • Do bản chất dải thông phẳng tối đa, nó được sử dụng làm bộ lọc chống aliasing trong các ứng dụng bộ chuyển đổi dữ liệu.
  • Nó có các ứng dụng trong radar như trong thiết kế hiển thị theo dõi mục tiêu radar.
  • Chúng được sử dụng trong các ứng dụng âm thanh chất lượng cao.
  • Chúng được sử dụng trong các bộ lọc kỹ thuật số để phân tích chuyển động.

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button